Ondas
de torque en motores eléctricos
Por: T.J.E. Miller.*
Par uniforme. ¿No es
eso lo que obtenemos de las máquinas eléctricas?
Ciertamente, parecen producir un par uniforme. A diferencia
de los motores de combustión interna, no tienen volantes de inercia ni ejes de
equilibrado, ni mecanismo de válvulas alternativo. Se parecen más a las
turbinas, que parecen producir un par constante sin ondulación perceptible.
Dentro de una máquina eléctrica, observamos la compleja
geometría interna de estatores ranurados, rotores con imanes o polos bobinados
y una intrincada distribución de conductores. En muy raras ocasiones, el rotor
es un cilindro circular isótropo homogéneo. Tanto el rotor como el estator
podrían describirse como conjuntos de componentes discretos con diferentes
formas y tamaños. Si buscamos regularidad, podríamos contar el número de
ranuras y pares de polos, solo para descubrir que no son iguales; lo que es
peor, es posible que ni siquiera tengan un factor común. Por ejemplo, una
máquina de 12 ranuras y 10 polos tiene 12 ranuras y 5 pares de polos, sin
factor común. ¿Cómo puede esta configuración producir un par constante?
La pregunta se vuelve aún más compleja al examinar el
controlador electrónico de potencia de campo orientado (driver) que se utiliza
en máquinas modernas. En él, encontramos componentes discretos que operan en
modo conmutado (lo que significa que los transistores de potencia están
activados o desactivados, nunca funcionando en un modo lineal controlado).
¿Cómo podemos entonces obtener un par uniforme con un sistema así?
La respuesta corta es que en casi todas las máquinas
eléctricas, un par absolutamente constante es prácticamente inalcanzable, y
cierto grado de rizado de par es inherente.
El arte del diseñador consiste en reducirlo a un nivel aceptable. A
menudo, este nivel es muy bajo, y en algunos casos puede ser tan bajo que
resulta difícil de medir.
Cuestión de armónicos
Es útil dividir el tema en una cuestión de armónicos. La
ondulación de par es un armónico no deseado del par del eje (que, si fuera
perfectamente uniforme, tendría un valor promedio de orden armónico cero).
Tiende a causar ondulación de velocidad, que es un armónico no deseado en la
velocidad. En muchos casos, la inercia rotatoria actúa como un filtro mecánico
de paso bajo simple y adecuado para atenuar la ondulación de velocidad. Sin
embargo, en sistemas más complejos, la ondulación de velocidad puede verse
peligrosamente amplificada por resonancias torsionales con órdenes armónicos
específicos.
La resonancia puede amplificar los armónicos de par, lo que
resulta en un patrón de tensión torsional cíclica en el eje y los
acoplamientos, lo que a su vez puede causar fallos por fatiga o el aflojamiento
de tuercas y tornillos. La ondulación de par suele estar asociada con la
vibración (y el ruido), que puede ser difícil de resolver únicamente mediante
el diseño mecánico. Si no podemos confiar en la inercia para mitigar los
efectos de la ondulación del par, debemos reducirla en la fuente.
Uno de esos sagrados conjuros de ingeniería que todos los
estudiantes murmuran fuera del aula de exámenes es que «el par es igual al
flujo por la corriente». Por lo tanto, debemos suprimir los armónicos tanto en
el flujo como en la corriente. Pero ¿dónde
se encuentran y cómo interactúan?
Podemos empezar diciendo simplemente que, para las máquinas
de corriente alterna, la forma de onda temporal de la corriente debe ser lo más
cercana posible a una onda sinusoidal pura. En las máquinas alimentadas por
inversor, esta es la función del regulador de corriente y su algoritmo de
control PWM. La inductancia actúa como un filtro paso bajo simple que ayuda a
reducir los armónicos no deseados (especialmente en la frecuencia portadora) en
la forma de onda de la corriente, de forma análoga al filtrado mecánico de la
inercia rotacional en relación con la velocidad.
Pero el concepto de "armónicos de flujo" no es tan
simple. Tenemos que estudiar el producto "flujo por corriente" en
términos de la interacción de las distribuciones de flujo y corriente dentro de
la máquina.
En la teoría clásica, estas distribuciones se resuelven en
la distribución de densidad de flujo y la distribución de amperios-conductor
del estator alrededor del entrehierro. Usaremos estos conceptos fácilmente
visualizables a lo largo de este escrito. Pero debemos hacer la observación de
que la composición armónica de estas distribuciones no es el resultado
inmediato de un análisis de elementos finitos.
Esto nos lleva a la pregunta de si el par debe analizarse en
términos de estas distribuciones armónicas, o si debe calcularse por la tensión
de Maxwell (que es el resultado inmediato de un análisis de elementos finitos).
Las distribuciones armónicas conducen directamente al par promedio temporal (a
menudo mediante un análisis de elementos finitos en una sola posición del
rotor), mientras que la tensión de Maxwell proporciona el par instantáneo en
una sola posición del rotor y, por lo tanto, debe repetirse durante un ciclo
completo para obtener el par promedio o de funcionamiento. Sin embargo, a pesar
de sus obvias diferencias, ambos enfoques son más compatibles de lo que podría
parecer a primera vista, como veremos.
Para las máquinas de CA, utilizamos series de Fourier para
analizar los armónicos espaciales de la distribución del devanado, la
distribución del flujo y, en ocasiones, la distribución de la permeancia dentro
de la máquina, a lo largo de la dirección circunferencial alrededor del
entrehierro. (También utilizamos series de Fourier para analizar los armónicos
temporales en la forma de onda de la corriente, a veces basándonos en la teoría
de componentes simétricos en casos de funcionamiento desequilibrado; pero en
este caso procederemos con el supuesto de corrientes polifásicas sinusoidales
equilibradas).
El par se obtiene de la integral (con respecto al ángulo
alrededor del entrehierro) del producto de dos series armónicas: una que
representa la distribución amperio-conductor del estator y la otra que
representa algún atributo productor de par del rotor, que podemos llamar
"el flujo del rotor". (Esto podría ser el resultado de imanes o
devanados de campo o saliencia, o alguna combinación, y el término "flujo
del rotor" será familiar especialmente para los ingenieros de control
orientados al campo que lo usan incluso con motores de inducción).
El producto de estas ondas es una onda de esfuerzo cortante
en la superficie del rotor, cuya integral sobre 360° es esencialmente el par
instantáneo. El principio central en la producción de par es el notable siendo
que un resultado distinto de cero para esta integral (y por lo tanto el par) se
produce solo por la interacción de los armónicos del espacio de trabajo de la
distribución amperio-conductor del estator y el flujo del rotor (a veces
llamados armónicos "fundamentales").
Todas las demás interacciones armónicas espaciales no
producen par neto (siempre que las formas de onda de la corriente sean ondas
sinusoidales equilibradas). Este notable hecho se deriva directamente del
principio de ortogonalidad en relación con el producto de dos series de Fourier
y representa el extraordinario efecto de filtrado que se produce de forma
natural en la configuración de las máquinas de corriente alterna.
Esto significa que, para calcular el par medio, podemos
centrarnos en los armónicos de trabajo de la distribución de amperios-conductor
del estator y el flujo del rotor, e ignorar todos los demás armónicos
espaciales. Esta es la base de la transformación del eje dq (transformada de
Park). El desarrollo teórico de la transformada de Park parte del supuesto de
distribuciones espaciales sinusoidales de flujo y amperios-conductores
alrededor del entrehierro. Y aunque no trabaja con armónicos espaciales de
ninguno de los dos, reconoce su existencia al agrupar sus efectos inductivos en
la «inductancia de fuga armónica» o «inductancia diferencial», mientras que no
contribuyen en nada al par.
Las distribuciones espaciales armónicas de trabajo de los
conductores de amperios del estator y el flujo del rotor giran en sincronismo a
la velocidad síncrona, y Park las proyecta sobre un sistema de referencia que
gira a velocidad síncrona. En este sistema de referencia (los llamados ejes dq)
todo parece constante en funcionamiento estacionario. Por ello, Park representa
los efectos distribuidos de los conductores de amperios del estator y el flujo
del rotor mediante las magnitudes terminales, la corriente y el enlace de
flujo. Para proporcionar un medio de orientación (modificando el ángulo de fase
espacial relativo entre el flujo y las distribuciones de amperios-conductores
del estator), Park necesita dos bobinas o devanados: uno alineado con el eje d
o eje de campo del rotor y el otro alineado con el eje q o eje de cuadratura,
perpendicularmente al eje d. De esta manera, obtiene una relación de flujo ψd1
y una corriente id1 para el devanado del eje d, y ψq1 e iq1 para el devanado
del eje q. El subíndice adicional 1 refleja que las distribuciones respectivas
son los armónicos del espacio de trabajo del flujo y los amperios-conductores.
El par electromagnético promedio se obtiene ahora a partir
de la ecuación:
donde p es el número de pares de polos. En el lenguaje
coloquial moderno, podemos describir esto como "increíblemente
simple" en vista de la complejidad del sistema físico y su análisis matemático.
Este es el E = mc2 del diseño de máquinas eléctricas. Su derivación a menudo se
pierde en matices analíticos, pero el mantra del estudiante es claro: par =
flujo × corriente.
Tenemos que embellecerlo ligeramente. Primero, necesitamos
el flujo por la corriente para ambos ejes del modelo dq, no solo para uno de
ellos. En segundo lugar, debemos distinguir el flujo ligado (una magnitud
terminal o de circuito) del flujo (una magnitud distribuida o de campo). En
tercer lugar, necesitamos sumar los coeficientes 3/2 y p. No entraremos en la
interpretación de estos coeficientes, ni siquiera discutiremos las unidades de
la ecuación, sino simplemente reflexionaremos sobre su
"increíblemente" simplicidad.
¿Podemos usar esta elegante ecuación de par con análisis de
elementos finitos en una sola posición del rotor, en lugar de una simulación
total completa de escalonamiento de la posición del rotor con tensión de
Maxwell? La respuesta es sí; se pueden encontrar ejemplos en [3] y [4], entre
otros. Pero, por supuesto, solo proporciona el par promedio o de
funcionamiento, sin rizado, sin dentado ni efectos parásitos (como pérdidas
parásitas y contribuciones de «fuga armónica» a la inductancia terminal).
Las «bobinas» de los ejes d y q, que representan el devanado
del estator polifásico real, tienen una distribución sinusoidal, en el sentido
de que sus distribuciones espaciales (circunferenciales) de amperios-conductor
son sinusoidales, con solo el número armónico de trabajo o fundamental de pares
de polos p. Pero sus inductancias se complementan con la inductancia de fuga
mencionada anteriormente, que incluye la «fuga armónica» asociada a los demás
armónicos espaciales de los devanados. Esto es necesario para que el modelo del
eje dq pueda producir las tensiones terminales correctas (mediante las
denominadas ecuaciones de Park). La inductancia asociada al armónico espacial
de trabajo de las distribuciones amperio-conductor del eje dq se denomina
«inductancia magnetizante», mientras que la inductancia total del devanado del
eje d es la inductancia síncrona Ld, y también Lq para el devanado del eje q.
Todas estas ideas son muy antiguas y se han utilizado como
base del diseño de máquinas eléctricas durante más de un siglo. Han pasado 100
años desde que se publicó la transformada del eje dq de Park y más de 130 años
desde que Blondel publicó su teoría de dos reacciones, que también se basa en
la noción de distribuciones sinusoidales de amperio-conductores y flujo.
La expresión moderna de estos principios a menudo se da en
términos de vectores espaciales, el lenguaje del control orientado al campo;
mientras que los elementos reales (en particular, el enlace de flujo, la
inductancia y el torque) se calculan mediante análisis numérico con una
precisión y un conocimiento muy superiores a los que estaban disponibles en los
primeros tiempos.
Es fácil olvidar que la transformada del eje dq de Park se
basa en el análisis de series de Fourier de las distribuciones de flujo y
amperio-conductor, aunque es claramente obvio cuando se aplica a la matriz de
inductancia en la derivación de Ld y Lq, [2,3]. Pero en términos matemáticos,
el análisis armónico por series de Fourier es una operación lineal. Al
"agregar armónicos", encarna el principio de superposición y, por lo
tanto, su validez (o al menos su precisión) puede cuestionarse cuando se aplica
a un "sistema no lineal" como una máquina eléctrica. Podríamos
imaginar que el enfoque de "simulación total" no se ve afectado por
esta preocupación, y eso ciertamente sería cierto para el cálculo del torque
por la tensión de Maxwell.
También sería perfectamente válido descomponer una forma de
onda de torque en sus componentes armónicos usando series de Fourier, después
de haber sido calculada por la tensión de Maxwell en una "simulación
total" que no usó la transformada de Park.
Pero es común, incluso en el enfoque de "simulación
total", usar Ld y Lq y las ecuaciones del circuito de Park sin detenerse a
considerar si la descomposición armónica subyacente a la transformada de Park
es completamente válida. Incluso si el principio de superposición es aceptable
en relación con la composición armónica del flujo y las distribuciones de
amperios-conductor, sigue siendo el caso de que los armónicos en estas
distribuciones introducen variaciones armónicas en Ld y Lq.
En otras palabras, pueden variar con la posición del rotor.
Parece que rara vez reconocemos esta posibilidad. En cambio, navegamos a través
de nuestro diseño de máquina y nuestro análisis con la suposición tácita de que
Ld y Lq son independientes de la posición del rotor, aunque aceptamos
fácilmente su variación con la corriente.
Parece funcionar. ¡Tal vez sea debido a nuestro dominio de
los diseños de bobinados y nuestra adherencia a las mejores prácticas! Sin
embargo, hay ingenieros que no confían del todo en las suposiciones
subyacentes, por lo que recurren al enfoque de «simulación total» para todo,
incluso para el análisis de circuitos. Los ingenieros de esta escuela de
pensamiento bien podrían ser los primeros en describir la simplicidad de la
ecuación de par como «increíble», y tendrían razón, aunque el término
«increíble» sea un poco extremo. Quizás tengan razón. La alternativa de la
«simulación total» solo es posible, por supuesto, con el software de simulación
más potente; ciertamente no era posible hace una generación. Un análisis
completo de estos temas interrelacionados sería una tarea difícil y compleja
para un estudiante de doctorado; y, francamente, no sé si se ha abordado ni en
qué medida. El abanico completo de preguntas e implicaciones teóricas parecería
estar fuera del alcance habitual de nuestro ajetreado trabajo diario en el
diseño de máquinas.
1 Como ejemplo de una máquina que produce un par constante,
se puede citar el disco de Faraday, así como ciertos tipos de máquinas
superconductoras homopolares.
2 Esto excluye el motor de CC sin escobillas, que funciona (idealmente)
con formas de onda de corriente de "onda cuadrada" [2]. También
excluye el motor de CC de conmutador y el motor de reluctancia conmutada, ya
que no son máquinas de CA.
3 El par de cogging
se excluye de esta discusión, ya que es un efecto independiente que surge
incluso con corriente cero.
Nota del traductor:
El par de cogging es un par de torsión que se produce en los
motores eléctricos debido a la interacción entre los imanes del rotor y los
dientes del estator. Es un efecto indeseable que puede causar vibraciones y
ruidos.
4 Los demás armónicos espaciales siguen siendo importantes
en el cálculo de las pérdidas parásitas, la inductancia total del devanado y la
tensión terminal.
5 Muchas de estas ideas se derivaron del trabajo de Blondel
30 años antes. En sus publicaciones originales sobre la teoría del eje dq en la
década de 1920, Park, Doherty, Nickle y otros reconocieron generosamente a
Blondel.
6 Esto es cierto incluso en el motor con conmutador de CC,
que probablemente sea la fuente original de la noción de "flujo por
corriente". En el motor de CC, normalmente solo se considera que el enlace
de flujo del eje d está activo en la producción de torque, aunque de hecho
ambos términos en la ecuación (1) están presentes.
-----------------------------------------------------------
*El profesor Miller estudió en las universidades de Glasgow
y Leeds. Realizó prácticas industriales en Tube Investments Ltd. Trabajó para
G.E.C. en el Reino Unido y para General Electric en Estados Unidos. De 1986 a
2011, fue profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Glasgow. Ha
publicado más de 200 artículos, 10 libros y 10 patentes, y ha impartido
numerosos cursos de formación.
Original en:
https://www.jmag-international.com/engineers_diary/068/
Ricardo Berizzo
Ingeniero Electricista 2025.-
